A rugót a D rugóállandóval, a test m tömegével és a G csillapítással jellemezzük. (A súrlódási erő arányos a sebességgel és az arányossági tényező G.)
A rugó tetejét a következő képlet szerint mozgatjuk:
yE = AE
cos (wt).
Ahol yE a gerjesztés kitérését jelöli; AE a gerjesztés amplitudója, w a gerjesztés körfrekvenciája, és t az idő.
A test y kitérésének a t időtől való függését keressük. Felhasználva az w0 = (D/m)1/2 képletet, az alábbi differenciálegyenlet írja le a problémát:
y''(t) = w02
(AE cos (wt) – y(t))
– G y'(t) Kezdeti feltételek: y(0) = 0; y'(0) = 0 |
A differenciálegyenlet megoldásához a következő eseteket kell vizsgálnunk:
1. eset: G < 2 w0 |
1.1. eset: G < 2 w0; G ¹ 0 vagy w ¹ w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e–Gt/2
[A1 sin (w1t)
+ B1 cos (w1t)]
w1 =
(w02
– G2/4)1/2
Aabs = AE
w02
G w
/ [(w02
– w2)2
+ G2 w2]
Ael = AE
w02
(w02
– w2)
/ [(w02
– w2)2
+ G2 w2]
A1 = – (Aabs w
+ (G/2) Ael)
/ w1
B1 = – Ael
1.2. eset: G < 2 w0; G = 0 és w = w0 |
y(t) = (AE w t / 2) sin (wt)
2. eset: G = 2 w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e–Gt/2
(A1 t + B1)
Aabs = AE
w02
G w
/ (w02
+ w2)2
Ael = AE
w02
(w02
– w2)
/ (w02
+ w2)2
A1 = – (Aabs w
+ (G/2) Ael)
B1 = – Ael
3. eset: G > 2 w0 |
y(t) = Aabs sin (wt)
+ Ael cos (wt)
+ e–Gt/2
[A1 sinh (w1t)
+ B1 cosh (w1t)]
w1 =
(G2/4
– w02)1/2
Aabs = AE
w02
G w
/ [(w02
– w2)2
+ G2 w2]
Ael = AE
w02
(w02
– w2)
/ [(w02
– w2)2
+ G2 w2]
A1 = – (Aabs w
+ (G/2) Ael)
/ w1
B1 = – Ael
URL: http://www.walter-fendt.de/ph14hu/resmath_hu.htm
© Walter Fendt 1998. szeptember 9.
© Serényi Tamás 2004. január 26.